Un verre hémisphérique est rempli sur la moitié de sa hauteur.

Quel est l'angle minimum x selon lequel on peut pencher ce verre sans renverser de liquide ?

D'après les données de la figure le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ et $AB=\frac{AC}{2}$.
On a alors : $$\cos x=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{2}$$ Soit : $$x=60^{\small\circ}$$
Autrement dit, on peut pencher le verre de $30^{\small\circ}$ par rapport à la verticale.

Sur une île chaque jour et dans cet ordre, chaque loup tue un mouton, chaque mouton tue un serpent et chaque serpent tue un loup. Après 10 jours il ne reste plus sur l'île qu'un mouton et aucun autre animal.
Combien y avait-il d'animaux de chaque espèce au départ ?

Soient $L_n$, $M_n$ et $S_n$ le nombre respectif de loups, moutons et serpents après $n$ jours.
On a alors :

• $M_n=M_{n-1}-L_{n-1}$
• $S_n=S_{n-1}-M_n$
• $L_n=L_{n-1}-S_n$

On obtient alors :

• $S_n+M_n=S_{n-1}$
• $L_n+S_n=L_{n-1}$
• $M_n+L_{n-1}=M_{n-1}$ soit $M_{n-1}=M_n+L_n+S_n$

On sait que $M_{10}=1$, $S_{10}=0$ et $L_{10}=0$.
Avec un tableur, on obtient :

Combien d'entiers naturels $n$ vérifient que : $n – 52$ et $n + 52$ sont des nombres entiers au carré ?

Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels tels que : $n – 52 = a ^2$ (1) et $n + 52 = b ^2$ (2).
(2) – (1) donne : $104 = b ^2 - a ^2$ , qui équivaut à : $( b – a ) ( b + a ) = 104$.
Donc $b − a$ et $b + a$ sont des diviseurs de 104 (avec $b – a < b + a$).
$$104 = 2^3 \times 13.$$ Ainsi, $104$ peut s'écrire sous la forme des produits suivants : $$104 = 1 \times 104$$ $$104 = 2 \times 52$$ $$104 = 4 \times 26$$ $$104 = 8 \times 13$$ Les couples $( b – a ; b + a )$ sont donc à choisir parmi les couples suivants : $(1 ; 104) , (2 ; 52) , ( 4 ; 26 )$ et $( 8 ; 13)$.
Cependant, $(b – a ) + (b + a ) = 2 b$ donc la somme des deux nombres d'un couple doit être paire :
$1 + 104 = 105$ qui est impair donc le couple $(1 ; 104)$ de convient pas.
De même, $8 + 13 = 21$ est impair donc $( 8 ; 13 )$ ne convient pas.
Par contre, $2 + 52 = 54$ est pair et $4 + 26 = 30$ est pair donc les deux couples $(2 ; 52)$ et $(4 ; 26)$peuvent convenir.
Déterminons $a$ et $b$ , puis l'entier $n$ , pour chaque couple :

• Dans le cas $(2 ; 52)$ , on résout le système : $\left\lbrace \begin{array}{l} b-a= 2\\ b+a=52 \end{array} \right.$ En additionnant les deux lignes, on trouve : $2 b = 54$ d'où $b = 27$.
  La deuxième ligne équivaut à : $a = 52 – b$ , d'où $a = 25$. L'égalité (1) donne : $n = a^2 + 52$ soit $n = 25^2 + 52 = 677$
  On vérifie que l'égalité (2) donne le même nombre : $n = b^2 - 52$ soit $n = 27^2 - 52 = 677$.
• Dans le cas $(4 ; 26)$ , on résout le système : $\left\lbrace \begin{array}{l} b-a= 4\\ b+a=26 \end{array} \right.$ En additionnant les deux lignes, on trouve : $2 b = 30$ d'où $b = 15$.
  La deuxième ligne équivaut à : $a = 26 – b$ , d'où $a = 11$.
  L'égalité (1) donne : $n = a ^2 + 52$ soit $n = 11^2 + 52 = 173$.
  On vérifie que l'égalité (2) donne le même nombre : $n = b ^2 - 52$ soit $n = 15^2 - 52 = 173$.

Finalement, il n'existe que deux entiers naturels qui vérifient la condition : $173$ et $677$.