• On calcule le produit suivant où le numérateur est le produit des nombres de 10 à 2010, pris de 4 en 4 et le dénominateur le produit de tous les nombres impairs de 1 à 1001.
• $$N=\dfrac{10\times 14\times 18\times \cdots \times 2010}{1\times 3\times 5\times \cdots \times 1001}$$
• Ecrire le résultat sous la forme $2^n \times p$ où $p$ est un nombre entier naturel impair.

Auteur : Luc GIRAUD

• Une solution : $$\begin{array}{rl} N& =\dfrac{10\times 14\times 18\times \cdots \times 2010}{1\times 3\times 5\times \cdots \times 1001}\\ & =\dfrac{\displaystyle\prod_{k=2}^{502}(4k+2)}{\displaystyle\prod_{k=1}^{500}(2k+1)}\\ &=\dfrac{\displaystyle\prod_{k=2}^{502}2(2k+1)}{\displaystyle\prod_{k=1}^{500}(2k+1)}\\ &= \dfrac{2^{502-2+1}\displaystyle\prod_{k=2}^{502}(2k+1)}{\displaystyle\prod_{k=1}^{500}(2k+1)}\\ &= \dfrac{2^{501}\displaystyle\prod_{k=2}^{500}(2k+1)}{3\times\displaystyle\prod_{k=1}^{500}(2k+1)}\\ &= \dfrac{2^{501}\times 1003\times 1005}{3}=2^{501}\times 336\; 005 \end{array}$$