Enoncé du problème n° 6
- Si toutes les personnes qui se trouvent dans la classe se serrent tous la main une fois et une seule, combien de poignées de main y aura-t-il ?
- Même question pour un groupe de 112 personnes.
- Même question pour un groupe de 3 500 personnes.
- Y-a-t il une règle ?
Auteur : Luc GIRAUD
Correction du problème n° 6
- Commençons donc avec un groupe de 36 personnes !
- Dans une classe où se trouvent 36 personnes:
- La première personne rentre dans la salle et s'installe...
- Arrive la deuxième personne qui serre la main à la première.
- Arrive la troisème qui fait 2 poignée de mains.
- La quatrième , elle fera 3 poignées de mains ...
- Ainsi de suite jusqu'à la trente sizième personne qui elle fera 35 poignées de mains.
- En tout il y aura donc 1+2+3+4+⋯35 poignées de mains.
- S=1+2+3+⋯+35S=35+34+33+⋯+12S=36+36+36+⋯+36 Ainsi 2S=36+36+36+⋯+36⏟ 35 termes=35×36
- Dans une classe de 36 personnes, il y aura donc 35×362=630 poignées de mains.
- Avec un groupe de 112 personnes, on recommence !
- Dans une pièce où se trouvent 112 personnes:
- La première personne rentre dans la salle et s'installe...
- Arrive la deuxième personne qui serre la main à la première.
- Arrive la troisème qui fait 2 poignée de mains.
- La quatrième , elle fera 3 poignées de mains ...
- Ainsi de suite jusqu'à la cent douzième personne qui elle fera 111 poignées de mains.
- En tout il y aura donc 1+2+3+4+⋯111 poignées de mains.
- S=1+2+3+⋯+111S=111+110+109+⋯+12S=112+112+112+⋯+112 Ainsi 2S=112+112+112+⋯+112⏟ 111 termes=111×112
- Dans un groupe de 112 personnes, il y aura donc 111×1122=6216 poignées de mains.
- Même question pour un groupe de 3 500 personnes :
- En tout il y aura donc 1+2+3+4+⋯3499 poignées de mains.
- S=1+2+3+⋯+3499S=3499+3498+3497+⋯+12S=3500+3500+3500+⋯+3500 Ainsi 2S=3500+3500+3500+⋯+3500⏟ 3499 termes=3499×3500
- Dans un groupe de 3500 personnes, il y aura donc 3499×35002=6123250 poignées de mains.
- Même question pour un groupe de n personnes : En tout il y aura donc 1+2+3+4+⋯+(n−2)+(n−1) poignées de mains.
- S=1+2+3+⋯+(n−1)S=(n−1)+(n−2)+(n−3)+⋯+12S=n+n+n+⋯+n Ainsi 2S=(n+n+n+⋯+n⏟ (n−1) termes=(n−1)×n
- Dans un groupe de n personnes, il y aura donc n×(n−1)2 poignées de mains.
-
Dans une assemblée de n personnes, il y a n(n−1)2 poignées de mains possibles.
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