Enoncé du problème n° 31
- Ecrire un nombre de 3 chiffres, lui coller le même nombre (par ex. 257 donne 257257) ;
- Le diviser par 7 puis par 11 puis par 13.
- Quelle conjecture peut être émise ?
- Que se passe-t-il ?
Auteur : Luc GIRAUD
Correction du problème n° 31
Tout d'abord \(257\;257=7\times 11\times 13\times 257\), ce qui prouve que ce nombre est divisible par 7, 11 et 13 !
D'une façon génénérale,soit \(a,b,c\) trois chifres quelconques pris dans \(\{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\}\).On considère le nombre \(abc\) , on lui colle \(abc\), on a donc le nombre \(N=abc\;abc\).
$$\begin{array}{rl} N &= abc\;abc \\ &= c+10b+100a+1000c+10000b+100000a \\ &= (c+10b+100a)\times 1 +(c+10b+100a)\times 1000\\ &= (c+10b+100a)\times (1+1000)\\ &=(c+10b+100a)\times 1001 \end{array}$$ Or \(1001=7\times 11\times 13\) , \(N=abc\;abc=(c+10b+100a)\times 7\times 11\times 13\)
D'une façon génénérale,soit \(a,b,c\) trois chifres quelconques pris dans \(\{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\}\).On considère le nombre \(abc\) , on lui colle \(abc\), on a donc le nombre \(N=abc\;abc\).
$$\begin{array}{rl} N &= abc\;abc \\ &= c+10b+100a+1000c+10000b+100000a \\ &= (c+10b+100a)\times 1 +(c+10b+100a)\times 1000\\ &= (c+10b+100a)\times (1+1000)\\ &=(c+10b+100a)\times 1001 \end{array}$$ Or \(1001=7\times 11\times 13\) , \(N=abc\;abc=(c+10b+100a)\times 7\times 11\times 13\)
Conclusion : Le nombre \(abc\;abc\) est donc divivible par 7, 11 et 13.
