Un étudiant se rend tous les jours à la fac en vélo. Il fait le trajet à 20 km/h de moyenne. À quelle vitesse doit-il aller au retour pour que sa vitesse moyenne sur l’aller-retour soit de 40 km/h?

Illustrons le problème :

Si on nomme :

• $d$ la distance séparant la maison de la faculté,
• $v_1$ la vitesse durant le trajet Maison $\rightarrow$ Faculté
• $t_1$ le temps pour faire le trajet Maison $\rightarrow$ Faculté
• $v_2$ la vitesse durant le trajet  Faculté$\rightarrow$ Maison
• $t_2$ le temps pour faire le trajet  Faculté$\rightarrow$ Maison
• $v_{\text{Moyen}}$ la vitesse moyenne durant le trajet  Maison $\rightarrow$Faculté$\rightarrow$ Maison

On a $v_1 =20$

On veut que $v_{\text{Moyen}}=40$ 

On a $v_1=\dfrac{d}{t_1}$ , $v_2=\dfrac{d}{t_2}$ et $v_{\text{Moyen}}=\dfrac{2d}{t_1+t_2}$

Comme $v_1=\dfrac{d}{t_1}$, on déduit $t_1=\dfrac{d}{v_1}$ ; de même $t_2=\dfrac{d}{v_2}$ 

$$v_{\text{Moyen}}=\dfrac{2d}{t_1+t_2}= \dfrac{2d}{\dfrac{d}{v_1}+\dfrac{d}{v_2}}= \dfrac{2}{\dfrac{1}{v_1}+\dfrac{1}{v_2}}$$

On déduit donc $$\dfrac{v_{\text{Moyen}}}{2}= \dfrac{1}{\dfrac{1}{v_1}+\dfrac{1}{v_2}}$$

Soit en prenant les inverses :

$$\dfrac{2}{v_{\text{Moyen}}}= \dfrac{1}{v_1}+\dfrac{1}{v_2}$$

Si on reprend les données du problème, on obtient :

$$\dfrac{2}{40}= \dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{v_2} \iff  \dfrac{1}{v_2}= 0$$

Ce qui n'est pas possible !