Une entreprise a lancé un appel à projet pour la création de son logo : une flèche grise sur un support carré de côté 5cm. On a représenté ci-dessus deux figures possibles.
L’entreprise veut que l’aire de la flèche grise représente au moins un cinquième de l’aire du support carré.
Quelles solutions peut-on proposer à l’entreprise ?
Soit $x$ la longueur du côté du carré $EFGC$.
$x\in ]0 ; 5[$ .
L’aire du carré $EFGC$est $x^2$ cm$^2$.
L’aire du carré $ABCD$ est 25 cm$^2$.
L’aire du triangle rectangle $ABE$ est égale à celle du triangle $ADG$ soit $\frac{5\times(5-x)}{2}$ cm$^2$.
L’aire du logo est donc :
$$\begin{array}{rl}
\mathcal{A}&=25-x^2-2\times\frac{5\times(5-x)}{2} \\
&= 25-x^2-5(5-x)\\
&=25-x^2-25+5x\\
&=-x^2+5x
\end{array}$$
Il s’agit donc de résoudre l’inéquation : $$-x^2+5x\geq \frac{1}{5}\times 25$$
Soit $-x^2+5x-5\geq 0$.
Etudions le signe du polynôme du second degré $P$ défini sur $ ]0 ; 5[$ par $P(x) = -x^2+5x-5$.
$\Delta= 5^2 - 4 \times (−1) \times(−5) = 5 > 0 $.
$P$ admet donc deux racines réelles :
$$x_1=\dfrac{-5+\sqrt 5}{-2} \text{ et } x_2=\dfrac{-5-\sqrt 5}{-2} $$
soit $$x_1=\dfrac{5-\sqrt 5}{2}\approx 1,38 \text{ et } x_2=\dfrac{5+\sqrt 5}{2} \approx 3,62$$
$P$ est donc positif sur l’intervalle $\left]
\dfrac{5-\sqrt 5}{2}; \dfrac{5+\sqrt 5}{2}\right[$ (signe contraire de $a = −1$ entre les racines).
On peut donc proposer à l’entreprise un nombre appartenant à l’intervalle$\left]
\dfrac{5-\sqrt 5}{2}; \dfrac{5+\sqrt 5}{2}\right[$ comme longueur pour le
carré $EFGC$.
