Les trois demi-cercles ci-contre ont pour diamètre les côtés d’un triangle rectangle. Montrer que l’aire totale en rouge est égale à l’aire du triangle en bleu.
Histoire des maths. Ce résultat, appelé « quadrature des lunules », a été démontré par Hippocrate (460-377 av. J.-C.) et encouragea alors les mathématiciens à poursuivre la recherche d’un autre problème : la quadrature du cercle (tracer à la manière des grecs, c’est-à-dire à la règle non graduée et au compas, un carré ayant la même aire qu’un disque de rayon donné). Aucun n’y parvint et il aura fallu attendre 1882 pour que Ferdinand von Lindemann démontre que ce problème est insoluble, mettant ainsi un terme à plus de deux millénaires d’efforts !
Notons $L$ l’aire en rouge (lunules), $T$ l’aire en bleue (triangle) et l’aire entre les lunules et le triangle.
Avec ces notations, le but de l’exercice est de démontrer que $L=T$.
Soient $a,b$ et $c$ les trois rayons des demi-cercles dans l’ordre croissant. Ainsi, les côtés du triangle ont pour longueur (dans l’ordre croissant) :$2a,2b$ et $2c$.
$L$ est égale à l’aire des demi-disques de rayon $a$ et $b$ ôtée de $B$. Or, $B=\dfrac{1}{2}\pi c^2 -T$.
donc:
$$L= \dfrac{1}{2}\pi a^2+\dfrac{1}{2}\pi b^2-\left(\dfrac{1}{2}\pi c^2-T\right)=\dfrac{1}{2}\pi\left(a^2+b^2-c^2\right).$$
Or, le triangle étant rectangle, on peut utiliser le théorème de Pythagore. On a donc $$\left(2a\right)^2 +\left(2b\right)^2=\left(2c\right)^2.$$
soit $4a^2+4b^2=4c^2$ . Ainsi $a^2+b^2=c^2$ .
En simplifiant l’expression de $L$, on obtient bien $L=T$.
