Problèmes de Maths

Problèmes de Maths

Une idée pour motiver nos élèves.

Un problème de Maths posé sur une semaine
La solution proposée la semaine suivante

Enoncé du problème n° 111

Correction du problème n° 111

On note

$a_n$ et

$b_n$ respectivement le nombre de

$a$ et de

$b$ dans le mot

$M_n$ .
On a :

$a_0=1$ ,

$a_1=2,a_2=5$

$b_0=1,b_1=3,b_2=8$
Chaque

$a$ dans

$M_n$ va être remplacé par

$ab$ dans

$M_{n+1}$ donc va "engendrer" un seul

$a$ .
Chaque

$b$ dans Mn va être remplacé par

$bab$ dans

$M_{n+1}$ donc va "engendrer" un seul

$a$ .
Donc

$a_{n+1}=a_n+b_n$
Chaque

$a$ dans

$M_n$ va être remplacé par

$ab$ dans

$M_{n+1}$ donc va "engendrer" un seul

$b$ .
Chaque

$b$ dans

$M_n$ va être remplacé par

$bab$ dans

$M_{n+1}$ donc va "engendrer" un

$b$ de plus.
Donc

$b_{n+1}=a_n+2 b_n$ .
Si on note

$L_n$ la longueur du mot

$M_n$ , on a :

$L_n=a_n+b_n$ .
En effectuant les calculs de proche en proche, on peut facilement trouver

$a_10,b_10$ et

$L_10$ .
Par exemple :

$a_3=a_2+b_2=5+8=13$

$b_3=a_2+2b_2=5+2\times 8=21$

$a_4=a_3+b_3=13+21=34$

$b_4=a_3+2b_3=13+2\times 21=55$
etc.

Pour accélérer les calculs, on peut utiliser un tableur :

Les formules à taper sont :
Dans A2 : 0, Dans B2 : 1, Dans C2 : 1 Dans D2 : = B2 + C2
Dans A3 : = A2 + 1, Dans B3 : = B2 + C2, Dans C3 : = B2 + 2*C2, Dans D3 : = B3 + C3.
Ensuite, on sélectionne les quatre cellules de A3 à D3, et on fait un "recopier vers le bas", jusqu'à la ligne 12 pour obtenir

$a_{10},b_{10}$ et

$L_{10}$ .
On lit : La longueur du mot

$M_{10}$ est

$L_{10}=28657$ et il contient 17711 caractères

$b$ (

$b_{10}=17711$ ).

On peut aussi faire un programme Python

qui produit vraiment les différents mots

$M_n$ et compte le nombre de

$a$ et le nombre de

$b$ , et en déduit le nombre total de caractères.

Voilà ce que donne l'exécution du programme pour n = 3 et pour n = 10. On voit que le mot M10 n'est pas écrit car il prend 359 lignes ‼!

Enfin, pour aller plus loin, il est possible d'obtenir la valeur de

$a_n$ et de

$b_n$ donc de

$L_n$ en fonction de

$n$ directement. En effet, on peut se rendre compte facilement en regardant l'écran du tableur précédent que les

$a_n$ sont les termes de rangs impairs de la célèbre suite de Fibonacci et les

$b_n$ en sont les termes de rangs pairs (à partir de 2).
Pour rappel, la suite de Fibonacci, est la suite

$(F_n )$ définie, pour tout entier naturel

$n$ par :

$F_0=0 , F_1=1$ et

$F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ .
On a :

$F_1=1=a_0$

$F_2=1=b_0$

$F_3=2=a_1$

$F_4=3=b_1$

$F_5=5=a_2$

$F_6=8=b_2$
etc.
Ainsi :

$a_n=F_{2n+1}$ et

$b_n=F_{2n+2}$ pour tout entier

$n \geq 0$ .
On peut trouver facilement sur Wikipédia par exemple, que :

$F_n=\dfrac{1}{\sqrt 5}\times \left(\varphi^n- \varphi ' ^n \right)$ avec

$\varphi=\dfrac{1+\sqrt 5}{2}$ et

$\varphi '=\dfrac{1-\sqrt 5}{2}$ (

$\varphi$ est le célèbre Nombre d'Or ).
Donc :

$a_n=\dfrac{1}{\sqrt 5} \left(\varphi^{2n+1}-\varphi '^{2n+1}\right )$ et

$b_n=\dfrac{1}{\sqrt 5} \left(\varphi^{2n+1}-\varphi '^{2n+1}\right )$ .
On peut alors créer un programme Python qui calcule directement

$a_n,b_n$ et

$L_n$ :

Voilà ce que donne l'exécution du programme pour

$n = 10$ .

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Pour accélérer les calculs, on peut utiliser un tableur :

On peut aussi faire un programme Python

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