Un nombre a six chiffres, qui sont notés a,b,c,d,e,f, où f est le chiffre
des unités, e est le chiffre des dizaines,⋯ etc ⋯ , a est le chiffre des
centaines de mille.
On notera ce nombre abcdef.
On notera de la même façon des nombres formés avec certains de ces chiffres.
Les six chiffres sont choisis parmi les chiffres 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6.
Chacun est utilisé une et une seule fois.
On sait que :
le nombre abcdef est un multiple de 6 ;
le nombre abcde est un multiple de 5 ;
le nombre abcd est un multiple de 4 ;
le nombre abc est un multiple de 3 ;
le nombre ab est un multiple de 2.
Trouver tous les nombres possibles abcdef qui remplissent ces conditions.
Le nombre abcdef est un multiple de 6. Il est donc divisible à la fois par 3 et par 2.
La somme de ses chiffres est égale à 1+2+3+4+5+6 = 21, qui est un multiple de 3, donc notre nombre abcdef est bien un multiple de 3, dans tous les cas.
Il est un multiple de 2 si et seulement si son dernier chiffre est pair. Donc f=2 ou 4 ou 6.
Le nombre abcde est un multiple de 5. Or les multiples de 5 se terminent par 0 ou 5. Ici on ne peut pas avoir le chiffre 0. On en déduit donc que e=5.
Le nombre abcd est un multiple de 4. Un nombre d’au moins trois chiffres est un multiple de 4 si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4.
donc le nombre cd est un multiple de 4. En conséquence, d est pair, donc d= 2 ou 4 ou 6.
Le nombre abc est un multiple de 3. Donc la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
Donc a+b+c est un multiple de 3.
Le nombre ab est un multiple de 2. Donc b= 2 ou 4 ou 6.
Nous savons donc que les chiffres pairs sont f,d et b, et que les chiffres impairs sont a,c et e.
Et on sait déjà que e=5.
Il reste deux possibilités pour a et c : (a=1 et c=3 ) et (a=3 et c=1)
Dans ces deux cas, on a : a+c=4. Donc a+b+c=4+b. Donc 4+b est un multiple de 3.
si b=
2
4
6
alors 4+b=
6
8
10
La seule possibilité pour que 4+b soit un multiple de 3 est : b=2.
Il reste deux possibilités pour d et f : (d=4 et f=6) et (d=6 et f=4)
Intéressons-nous maintenant au nombre cd, qui doit être un multiple de 4 :
avec c=1, on aura nécessairement d=6 pour respecter cette condition. Il en découle alors : a=3 ; f=4 et le nombre ainsi obtenu est : 321654
avec c=3, on aura aussi nécessairement d=6 pour respecter cette condition. Il en découle alors : a=1 ; f=4 et le nombre ainsi obtenu est : 123654
Ainsi, si un nombre vérifie tous les critères donnés, c’est forcément l’un des deux nombres 321654 et 123654.
Nous pouvons vérifier que tous deux remplissent bien toutes les conditions.
La réponse est donc : 321654 et 123654.
