Soient a et b deux entiers naturels tels que : n – 52 = a ^2 (1) et n + 52 = b ^2 (2).
(2) – (1) donne : 104 = b ^2 - a ^2 , qui équivaut à : ( b – a ) ( b + a ) = 104.
Donc b − a et b + a sont des diviseurs de 104 (avec b – a < b + a ). 104 = 2^3 \times 13.
Ainsi, 104 peut s'écrire sous la forme des produits suivants :
104 = 1 \times 104104 = 2 \times 52104 = 4 \times 26104 = 8 \times 13
Les couples ( b – a ; b + a ) sont donc à choisir parmi les couples suivants :
(1 ; 104) , (2 ; 52) , ( 4 ; 26 ) et ( 8 ; 13).
Cependant, (b – a ) + (b + a ) = 2 b donc la somme des deux nombres d'un couple doit être paire : 1 + 104 = 105 qui est impair donc le couple (1 ; 104) de convient pas.
De même, 8 + 13 = 21 est impair donc ( 8 ; 13 ) ne convient pas.
Par contre, 2 + 52 = 54 est pair et 4 + 26 = 30 est pair donc les deux couples (2 ; 52) et
(4 ; 26) peuvent convenir.
Déterminons a et b , puis l'entier n , pour chaque couple :
Dans le cas (2 ; 52) , on résout le système :
\left\lbrace
\begin{array}{l}
b-a= 2\\
b+a=52
\end{array}
\right.
En additionnant les deux lignes, on trouve : 2 b = 54 d'où b = 27.
La deuxième ligne équivaut à : a = 52 – b , d'où a = 25.
L'égalité (1) donne : n = a^2 + 52 soit n = 25^2 + 52 = 677
On vérifie que l'égalité (2) donne le même nombre : n = b^2 - 52 soit n = 27^2 - 52 = 677.
Dans le cas (4 ; 26) , on résout le système : \left\lbrace
\begin{array}{l}
b-a= 4\\
b+a=26
\end{array}
\right.
En additionnant les deux lignes, on trouve : 2 b = 30 d'où b = 15.
La deuxième ligne équivaut à : a = 26 – b , d'où a = 11.
L'égalité (1) donne : n = a ^2 + 52 soit n = 11^2 + 52 = 173.
On vérifie que l'égalité (2) donne le même nombre : n = b ^2 - 52 soit n = 15^2 - 52 = 173.
Finalement, il n'existe que deux entiers naturels qui vérifient la condition : 173 et 677.
