Un éleveur de Math-City conduit des vaches le long du fleuve. Chaque vache lui coûte 15 € de nourriture par jour, et lui-même a des dépenses personnelles quotidiennes de 30 €. Chaque soir, il dépose une vache dans la localité où il passe ; son troupeau diminue donc d’une unité. Après avoir déposé sa dernière vache, il fait son bilan et se dit : « Tiens, le nombre d’euros que j’ai dépensés est le plus petit nombre qui est divisible par 1, par 2, par 3, par 4, par 5, par 6, par 7, par 8, par 9 et par 10. » Combien le troupeau comportait-il de vaches au départ ?
Le plus petit nombre qui est divisible par 1, par 2, par 3, par 4, par 5, par 6, par 7, par 8, par 9 et par 10 est :
2×3×4×5×7×3=2520
C’est donc la somme dépensée par l’éleveur.
Le dernier jour, il a dépensé 15 € pour sa vache et 30 € pour lui, soit au total 15+30.
L’avant-dernier jour, il avait encore deux vaches.
Sa dépense était égale à 2×15+30.
Et le jour précédent,3×15+30.
Et ainsi de suite.
Si n désigne le nombre de vaches au départ, et donc le nombre de jours qu’a duré le voyage, la dépense totale (2 520€) est :
(1+2+3+⋯+n)×15+30n
On a donc : n(n+1)2×15+30n=2520
Ce qui se simplifie en : n2+5n−336=0
D’où n=16. Le troupeau comprenait 16 vaches au départ.
