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Problème n° 119

Problèmes de Maths

Problèmes de Maths

Une idée pour motiver nos élèves.

  • Un problème de Maths posé sur une semaine
  • La solution proposée la semaine suivante
  • Enoncé du problème n° 119

    En Papouasie, il y a des Papous et des pas Papous.
    Parmi les Papous, il y a des Papous papas et des Papous pas papas.
    Mais il y a aussi des papas pas Papous et des pas Papous pas Papas.
    De plus, il y a des Papous pas papas à poux et des papas pas Papous à poux.
    Mais il n’y a pas de papas Papous à poux ni de pas Papous pas papas à poux. Combien y a-t-il de types de Papous en Papouasie ?

  • Correction du problème n° 119

    On peut utiliser un arbre de choix pour représenter la situation :

    On obtient ainsi :
    • des Papous papas à poux papas ;
    • des Papous papas à poux pas papas ;
    • des Papous papas pas à poux ;
    • des Papous pas papas à poux papas ;
    • des Papous pas papas à poux pas papas ;
    • des Papous pas papas pas à poux.
    C’est-à-dire six types de Papous.

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Problème n° 118

Problèmes de Maths

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Une idée pour motiver nos élèves.

  • Un problème de Maths posé sur une semaine
  • La solution proposée la semaine suivante
  • Enoncé du problème n° 118

    Un éleveur de Math-City conduit des vaches le long du fleuve.
    Chaque vache lui coûte 15 € de nourriture par jour, et lui-même a des dépenses personnelles quotidiennes de 30 €.
    Chaque soir, il dépose une vache dans la localité où il passe ; son troupeau diminue donc d’une unité.
    Après avoir déposé sa dernière vache, il fait son bilan et se dit : « Tiens, le nombre d’euros que j’ai dépensés est le plus petit nombre qui est divisible par 1, par 2, par 3, par 4, par 5, par 6, par 7, par 8, par 9 et par 10. »
    Combien le troupeau comportait-il de vaches au départ ?

  • Correction du problème n° 118

    Le plus petit nombre qui est divisible par 1, par 2, par 3, par 4, par 5, par 6, par 7, par 8, par 9 et par 10 est : 2×3×4×5×7×3=2520 C’est donc la somme dépensée par l’éleveur.
    Le dernier jour, il a dépensé 15 € pour sa vache et 30 € pour lui, soit au total 15+30.
    L’avant-dernier jour, il avait encore deux vaches.
    Sa dépense était égale à 2×15+30.
    Et le jour précédent,3×15+30. Et ainsi de suite.
    Si n désigne le nombre de vaches au départ, et donc le nombre de jours qu’a duré le voyage, la dépense totale (2 520€) est : (1+2+3++n)×15+30n On a donc : n(n+1)2×15+30n=2520 Ce qui se simplifie en : n2+5n336=0 D’où n=16. Le troupeau comprenait 16 vaches au départ.

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Problème n° 117

Problèmes de Maths

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  • Un problème de Maths posé sur une semaine
  • La solution proposée la semaine suivante
  • Enoncé du problème n° 117

    Un verre hémisphérique est rempli sur la moitié de sa hauteur.

    Quel est l'angle minimum x selon lequel on peut pencher ce verre sans renverser de liquide ?

  • Correction du problème n° 117


    D'après les données de la figure le triangle ABC est rectangle en B et AB=AC2.
    On a alors : cosx=ABAC=12 Soit : x=60
    Autrement dit, on peut pencher le verre de 30 par rapport à la verticale.

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Problème n° 116

Problèmes de Maths

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  • Un problème de Maths posé sur une semaine
  • La solution proposée la semaine suivante
  • Enoncé du problème n° 116

    Sur une île chaque jour et dans cet ordre, chaque loup tue un mouton, chaque mouton tue un serpent et chaque serpent tue un loup. Après 10 jours il ne reste plus sur l'île qu'un mouton et aucun autre animal.
    Combien y avait-il d'animaux de chaque espèce au départ ?

  • Correction du problème n° 116

    Soient Ln, Mn et Sn le nombre respectif de loups, moutons et serpents après n jours.
    On a alors :
    • Mn=Mn1Ln1
    • Sn=Sn1Mn
    • Ln=Ln1Sn
    On obtient alors :
    • Sn+Mn=Sn1
    • Ln+Sn=Ln1
    • Mn+Ln1=Mn1 soit Mn1=Mn+Ln+Sn
    On sait que M10=1, S10=0 et L10=0.
    Avec un tableur, on obtient :

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Problème n° 115

Problèmes de Maths

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  • La solution proposée la semaine suivante
  • Enoncé du problème n° 115

    Combien d'entiers naturels n vérifient que : n – 52 et n + 52 sont des nombres entiers au carré ?

  • Correction du problème n° 115

    Soient a et b deux entiers naturels tels que : n – 52 = a ^2 (1) et n + 52 = b ^2 (2).
    (2) – (1) donne : 104 = b ^2 - a ^2 , qui équivaut à : ( b – a ) ( b + a ) = 104.
    Donc b − a et b + a sont des diviseurs de 104 (avec b – a < b + a ).
    104 = 2^3 \times 13. Ainsi, 104 peut s'écrire sous la forme des produits suivants : 104 = 1 \times 104 104 = 2 \times 52 104 = 4 \times 26 104 = 8 \times 13 Les couples ( b – a ; b + a ) sont donc à choisir parmi les couples suivants : (1 ; 104) , (2 ; 52) , ( 4 ; 26 ) et ( 8 ; 13).
    Cependant, (b – a ) + (b + a ) = 2 b donc la somme des deux nombres d'un couple doit être paire :
    1 + 104 = 105 qui est impair donc le couple (1 ; 104) de convient pas.
    De même, 8 + 13 = 21 est impair donc ( 8 ; 13 ) ne convient pas.
    Par contre, 2 + 52 = 54 est pair et 4 + 26 = 30 est pair donc les deux couples (2 ; 52) et (4 ; 26) peuvent convenir.
    Déterminons a et b , puis l'entier n , pour chaque couple :
    • Dans le cas (2 ; 52) , on résout le système : \left\lbrace \begin{array}{l} b-a= 2\\ b+a=52 \end{array} \right. En additionnant les deux lignes, on trouve : 2 b = 54 d'où b = 27.
      La deuxième ligne équivaut à : a = 52 – b , d'où a = 25. L'égalité (1) donne : n = a^2 + 52 soit n = 25^2 + 52 = 677
      On vérifie que l'égalité (2) donne le même nombre : n = b^2 - 52 soit n = 27^2 - 52 = 677.
    • Dans le cas (4 ; 26) , on résout le système : \left\lbrace \begin{array}{l} b-a= 4\\ b+a=26 \end{array} \right. En additionnant les deux lignes, on trouve : 2 b = 30 d'où b = 15.
      La deuxième ligne équivaut à : a = 26 – b , d'où a = 11.
      L'égalité (1) donne : n = a ^2 + 52 soit n = 11^2 + 52 = 173.
      On vérifie que l'égalité (2) donne le même nombre : n = b ^2 - 52 soit n = 15^2 - 52 = 173.
    Finalement, il n'existe que deux entiers naturels qui vérifient la condition : 173 et 677.

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