Un groupe de voyageurs peut remplir complètement un train formé de wagons de 48 places, ou un autre train formé de wagons moins nombreux, mais de 64 places. D'autre part, si on répartissait ces voyageurs dans des compartiments à raison de 7 personnes par compartiment, ils en rempliraient un certain nombre et le dernier ne comprendrait que 5 personnes. Quel est le nombre de voyageurs, sachant qu'il est le plus petit nombre compatible avec ces conditions? Quels sont les nombres de wagons et, dans le dernier cas, de compartiments?
On cherche le plus petit multiple commun de 48 et 64 dont le reste par la division euclidienne par 7 est 5.\\
En remarquant que $48=3\times 16$ et $64=4\times 16$, on en déduit que les multiples communs de 48 et 64 sont les multiples de $3\times 4\times 16 =192$. \\
On peut alors chercher les restes la division euclidienne par 7 des multiples successifs de 192.\\
$192 = 7\times 27+3$, le reste est 3;
$192\times 2 = 384$ et $384 = 7\times 54 +6$, le reste est 6;
$192\times 3 = 576$ et $576 = 7\times 82 +2$, le reste est 2;
$192\times 4 = 768$ et $768 = 7\times 109 +6$, le reste est 5 !
Il y a donc 768 passagers dans le train, qui occuperaient 110 compartiments de 7 passagers dans 16 wagons de 48 places ou 12 wagons de 64 places.
